** Aux bornes d'un péage automatique

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Selon la hauteur du véhicule, les bornes de péage automatiques délivrent un ticket à deux hauteurs différentes, permettant au conducteur de ne pas descendre de son véhicule pour saisir le ticket. Si la hauteur du véhicule ne dépasse pas les \(2\) mètres, le ticket sort en bas ; sinon, il sort en haut.

Sur un parcours autoroutier, l’une de ces bornes est défectueuse et on a constaté que la probabilité qu’un conducteur n’ait pas à sortir de son véhicule pour saisir le ticket est \(0{,}59\). Lorsqu’un véhicule se présente devant cette borne, on considère qu’il y a succès si le conducteur n’a pas besoin de descendre du véhicule. Cinq véhicules se présentent successivement à la borne défectueuse. La borne délivre successivement \(5\) tickets de manière indépendante. On note \(X\) la variable aléatoire associée au nombre de succès.

1. Montrer que cette situation peut se modéliser par la répétition d’une épreuve de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
2. Exprimer à l’aide d’une phrase l’événement \(\{X\leqslant 3\}\).
3. On donne ci-dessous le tableau de la loi de probabilité de \(X\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline k &0&1&2&3&4&5 \\ \hline P(X=x_i)&\qquad&0{,}08&0{,}24&0{,}35&0{,}25&0{,}07 \\ \hline \end{array}\end{align*}\)
    a. Déterminer \(P(X=0)\).
    b. Calculer \(P(X>1)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\). Quelle interprétation faites-vous de ce résultat ?